Математические байки

2022-01-07 13:11:01 Если мы перепрыгиваем через вертикали на расстоянии 3 (то есть стартующие из проигрышных позиций, симметричных A-звену), то мы делаем один A-прыжок (2,3), перепрыгивая через вертикаль, а потом один B-прыжок (1,2), подходя к следующей вертикали.
А если через вертикали на расстоянии 2 (то есть стартующие из проигрышных позиций, симметричных B-звену), то мы делаем только один A-прыжок (2,3), перепрыгивая через вертикаль, и мы уже вплотную подошли к следующей вертикали.

Вот мы и получили правила замены — А заменяется на AB, а B заменяется на A! Открыть/Комментировать

2022-01-07 13:05:10 Давайте будем смотреть, что мы получаем от одного перепрыгивания (включительно) до другого (исключительно), в зависимости от того, через вертикали от каких вершин мы перепрыгивали. Открыть/Комментировать

2022-01-07 13:00:19 Так вот — то, что слово в задаче о ферзе это слово Фибоначчи, можно понять, просто посмотрев на то, как оно появляется.

Когда у нас идёт верхняя цепочка проигрышных позиций — они последовательно заполняют диагонали, "перепрыгивая" вертикали над уже имеющимися проигрышными позициями на симметричной нижней цепочке. Открыть/Комментировать

2022-01-07 12:56:22 Видно, что слово одно и то же. А что это за слово?
Это — слово Фибоначчи, а на картинке выше — кусочек из (начинающейся с его определения) статьи "Слова на ленте" в "Квантике".

Это слово получается так: мы начинаем со слова из одной буквы "A", после чего в каждом написанном слове заменяем A на AB, а B на A. Получается последовательность слов
A
AB
ABA
ABAAB
ABAABABA...,
которые все продолжают друг друга — и потому являются началами бесконечного слова; это и есть слово Фибоначчи. Открыть/Комментировать

2022-01-06 20:06:00 Открыть/Комментировать

2022-01-06 20:05:18 А ещё можно их последовательность закодировать, превратив в слово из букв "A" (большой прыжок) и "B" (маленький прыжок). Взяв эту картинку и пройдясь по ней, мы получим —
ABAABABAABAABABAAB +(хвостик торчащего дальше длинного прыжка А)

И... Открыть/Комментировать

2022-01-06 19:53:41 в) А ещё видно, что соседние позиции в верхней цепочке отличаются либо на сдвиг на (2,3), либо на сдвиг на (1,2). И на этой картинке первые звенья-сдвиги мы раскрасили красным, а вторые — синим. Открыть/Комментировать

2022-01-06 19:49:54 а) Становится видно, что проигрышные позиции выстраиваются в две симметричные "цепочки";
б) А ещё поле зрения оказывается заполненным линиями из выигрышных позиций; давайте эти линии спрячем, а оставим только проигрышные позиции и ломаную, которая "верхнюю" цепочку соединяет Открыть/Комментировать

2022-01-06 19:47:28 Ну или запрячь компьютер — пусть он считает, он железный (ну или кремниевый...) — Открыть/Комментировать

2022-01-06 19:46:39 Эта задача хороша тем, что в ней можно "поработать руками" — просто взять большой лист клетчатой бумаги, на нём последовательно нарисовать выигрышные и проигрышные позиции, и посмотреть, "что происходит": Открыть/Комментировать