Математические байки

2022-08-21 12:23:25 https://math.hse.ru/announcements/733826494.html

серия из 4 лекций 25 (чт) и 26 (пт) августа

М.А.Цфасман — Марина Вязовская: упаковки шаров
С.К.Ландо — Джун Ху: связь между алгебраической геометрией и комбинаторикой
А.Калмынин — Джеймс Мейнард: промежутки между простыми числами, диофантовы приближения
М. Мариани — Уго Дюминиль-Копен: критичность в статистической механике Открыть/Комментировать

2022-08-19 17:48:32 Видео очень крутое; давайте я к нему добавлю пару слов. Теорема о семи окружностях говорит, что если внутри (или снаружи) одной окружности есть "кольцо" из шести её касающихся, в котором каждая касается следующей, то хорды, соединяющие противоположные точки… Открыть/Комментировать

2022-08-19 17:46:40 А ещё — последний шаг рассуждения в том видео это (очень красивый!) переход от модели Пуанкаре к модели Клейна. Этот переход — тождественен на абсолюте (на граничной окружности) и переводит прямые в модели Пуанкаре (т.е. дуги окружностей, перпендикулярных абсолюту) в прямые в модели Клейна (т.е. хорды, соединяющие точки абсолюта). И раз три прямых пересекались в одной точке в модели Пуанкаре — их образы пересекаются в одной точке в модели Клейна.

Image credit: The Seven Circles Theorem,

Открыть/Комментировать

2022-08-19 14:26:36 Видео очень крутое; давайте я к нему добавлю пару слов. Теорема о семи окружностях говорит, что если внутри (или снаружи) одной окружности есть "кольцо" из шести её касающихся, в котором каждая касается следующей, то хорды, соединяющие противоположные точки… Открыть/Комментировать

2022-08-19 14:26:16 видео с доказательством теоремы о семи окружностях при помощи гиперболической геометрии:

( ранее на тему теоремы о семи окружностях: https://t.me/geometrykanal/1920 ) Открыть/Комментировать

2022-08-19 11:29:01 видео с доказательством теоремы о семи окружностях при помощи гиперболической геометрии:



( ранее на тему теоремы о семи окружностях: https://t.me/geometrykanal/1920 ) Открыть/Комментировать

2022-07-20 15:26:58 Вчерашний (!) препринт А.А.Гайфуллина: к этому списку добавилось 634 "симметричные" (у которых группа симметрий позволяет перевести любую вершину в любую) — и... >10^103 "не очень симметричных"! Открыть/Комментировать

2022-07-20 15:26:39 Так вот — до недавнего момента не-сфер с n=3(d/2)+3 было известно ровно 5.
- d=2: одна 6-вершинная триангуляция RP^2 как фактор икосаэдра по центральной симметрии (и известно, что больше ничего нет)
- d=4: одна 9-вершинная триангуляция CP^2 (и известно, что больше ничего нет)
- d=8: три 15-вершинные триангуляции HP^2 (построены давно, а вот то, что это именно HP^2, а не просто что-то "похожее", доказал Денис Городков). Открыть/Комментировать

2022-07-20 15:26:29 какие бывают нетривиальные (отличные от сферы) триангулированные d-мерные многообразия, у которых мало вершин?

оказывается (Brehm-Kühnel, 1987), тогда количество вершин хотя бы 3(d/2)+3, причем равенство возможно только при d=0,2,4,8,16 — и в этом случае многообразие похоже на соответствующую проективную плоскость (в т.ч. имеет такие же когомологии)

для d=2 картинка с 6-вершинной триангуляцией вещественной проективной плоскости была здесь неделю назад

для d=4 соответствующая 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости уже очень нетривиальна, она была найдена с использованием компьютерного перебора (Kühnel, 1980) — и про получившуюся конструкцию можно почитать обзор «The 9-vertex Projective Plane» (W.Kühnel, T.F.Banchoff; Math. Intelligencer 5, p. 11–22 (1983))

продолжение следует Открыть/Комментировать

2022-07-20 15:26:19 У многообразий бывают триангуляции. Берём — и пытаемся их "отполигонить", разбив на симплексы.
Логично, что "сложные" многообразия просто так не триангулируешь. Собственно, если вершин n "слишком мало" (относительно размерности d), то триангулировать так вообще можно только сферу — и граница проходит тут по n=3(d/2)+3. Если меньше, то точно сфера, а если ровно, то иногда бывает "похоже" на проективную плоскость (над R, C, H, O). Открыть/Комментировать