Математические байки

2021-05-04 18:20:15 Открыть/Комментировать

2021-05-04 18:20:13 С одной стороны, можно вычислять эту производящую функцию, работая с каждым энергетическим уровнем по отдельности.

Положительный уровень (2j-1)/2 можно не тронуть — а можно в него добавить частицу; +1 к заряду Q (потому что мы его в частицах считаем; иначе, если бы я сказал "электрон", нужно было бы вычитать 1), и +(2j-1)/2 к энергии.

Отрицательный уровень -(2j-1)/2 можно не тронуть — а можно из него убрать частицу; -1 к заряду Q (потому что мы его в частицах считаем; иначе, если бы я сказал "электрон", нужно было бы добавлять 1), и +(2j-1)/2 к энергии (опять с плюсом — потому что мы убираем частицу с отрицательной энергией).

Итого — производящая функция это вот такое произведение: Открыть/Комментировать

2021-05-04 18:10:59 А теперь посмотрим на состояния, отличающиеся от вакуумного лишь в конечном числе мест. У них есть две характеристики — энергия E и полный заряд Q (который мы будем считать в "штуках частиц", то есть добавление частицы его увеличивает, а не уменьшает).
(Состояния, отличающиеся в бесконечном числе мест, будут с бесконечной энергией — так что не рассматривать их вполне логично.)
Так давайте составим производящую функцию у этой пары характеристик — просуммируем x^Q*q^E по всем допустимым состояниям. Что получится? Открыть/Комментировать

2021-05-04 18:06:12 Открыть/Комментировать

2021-05-04 18:04:07 Хорошо, а при чём всё-таки тут тройное произведение?

Рассмотрим модельную ситуацию — пусть у нас разрешённые энергии это все полуцелые числа. И рассмотрим "вакуумное состояние", когда все состояния с отрицательной энергией заняты, а с положительной — свободны: Открыть/Комментировать