Математические байки

2022-07-20 10:58:33

утром в среду (20.07, 9:30) А.А.Гайфуллин будет на Летней школе «Современная математика» читать лекцию про случайные разрезы и распилы — и планируется ее прямая трансляция «В геометрии довольно много красивых вероятностных… Открыть/Комментировать

2022-07-20 09:33:44



утром в среду (20.07, 9:30) А.А.Гайфуллин будет на Летней школе «Современная математика» читать лекцию про случайные разрезы и распилы — и планируется ее прямая трансляция



«В геометрии довольно много красивых вероятностных сюжетов, связанных с вопросами о том, как выглядит «типичный» объект какого-либо вида. Например, пусть пространство случайным образом рассечено на части плоскостями; получилось много выпуклых многогранников.

* Сколько граней в среднем будет у такого многогранника?
* Какой будет средняя величина двугранного угла такого многогранника?
* Рассмотрим только те части разбиения, которые являются тетраэдрами. Какой будет средняя величина двугранного угла такого тетраэдра?
(Один из этих трех вопросов тривиален — подумайте, какой...)

Я постараюсь рассказать, как ставить и решать некоторые задачи такого рода (…) и, вообще, как воспринимать вероятность в геометрии и работать с такими понятиями, как «случайная точка», «случайная прямая» (…). В качестве приложения я расскажу вероятностное доказательство знаменитой формулы Шлефли.

Лекция будет доступна школьникам.» Открыть/Комментировать

2022-07-20 09:33:44 Трансляция началась. Открыть/Комментировать

2022-07-19 13:36:28 И вот анимация, которая делает это очевидным:
https://www.geogebra.org/classic/hjeyz3cr Открыть/Комментировать

2022-07-19 13:36:14 Циклоиду заметает камушек, застрявший в катящемся колесе. Давайте в каждый момент времени спроецируем камушек на вертикальный (в этот момент времени) диаметр циклоиды. Такая проекция движется по синусоиде: за время t колесо повернётся на угол t (пусть угловая скорость единичная), и поэтому высота камушка будет (1-cos t)R — ну а проедет оно расстояние tR.
Площадь под синусоидой найти не штука — получается 2πR^2, потому что половина площади прямоугольника 2R x 2πR, в который она "вписана" и который она разбивает на две равные части. А сколько остаётся на "лепестки"?
Оказывается, ровно площадь круга, πR^2. Ведь горизонтальная "нарезка" позволяет из каждого из "лепестков" собрать по половине круга, сдвинув точку синусоиды на одну и ту же вертикаль.

Итого, ответ: площадь под аркой циклоиды равна 2πR^2+πR^2=3πR^2, то есть втрое больше, чем площадь самого катящегося колеса. Открыть/Комментировать

2022-07-19 13:35:39 На Мат.Этюдах недавно вышел ролик "Параллелограмм", в комментариях к которому есть абзац:
===
В 1669 году в Парижской академии наук Жиль Роберваль продемонстрировал весы, показания которых не зависели от положения груза на чашках. Кстати, это тот самый Роберваль, который вычислил площадь под аркой ⁠⁠циклоиды, сведя эту площадь к площади под синусоидой (так называемые «лепестки Роберваля», см. брошюру Берман Г. Н. «Циклоида»).
===
Что такое эти лепестки, я не знал — а оказывается, история простая, красивая и наглядная. А именно: как найти площадь под циклоидой? Открыть/Комментировать

2022-07-14 23:37:30



напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов Открыть/Комментировать

2022-07-14 18:19:37 Один из первых слайдов с доклада Светланы Житомирской на ICM: Открыть/Комментировать

2022-07-12 14:53:24 А похожесть утверждений из курсов Берштейна и Смирнова совершенно не случайная — но это то, на чём я собираюсь остановиться. Открыть/Комментировать

2022-07-12 14:50:20 Смотрю на анонс курса Берштейна в ЛШСМ-2022, и хочу процитировать кусочек: == 1. Последовательностью Сомоса называется последовательность, заданая рекуррентным соотношением z_{m+2}z_{m−2}=z_{m+1}z_{m−1}+z_m^2 и начальными членами z_0=z_1=z_2=z_3=1. Хотя… Открыть/Комментировать