Математические байки

2022-02-16 15:34:10 Наконец, наличие двух "равномерных" последовательностей, на которые разбивается натуральный ряд, немедленно напоминает картинку из статьи Концевича в Кванте — на прямой отмечены точки пересечения с координатной сеткой, раскрашенные в зависимости от того, с горизонтальными или с вертикальными линиями происходит пересечение. Открыть/Комментировать

2022-02-16 15:29:39 Так вот — логика рассуждения тут очень простая. Давайте для каждого N посмотрим, сколько в сумме членов обеих последовательностей окажется среди чисел от 1 до N-1. Если их всегда ровно N-1, значит, при переходе от N-1 к N добавляется ровно один — то есть каждое N представлено ровно одним способом. И это в точности то, что и хочется доказать.

Ну и — раз α иррационально, то неравенство с целой частью
[nα]<=N-1
равносильно неравенству
nαnсоответственно, нам подходят [N/α] первых членов последовательности [nα]. Точно так же, нам подходят [N/β] первых членов последовательности [nβ]. И всего их
[N/α]+[N/β].
Но два иррациональных числа под целыми частями в сумме дают целое число N, потому что 1/α+1/β=1. Значит, сумма целых частей ровно на 1 меньше, и равна N-1. Победа!

479 viewsVictor Kleptsyn, 12:29

Открыть/Комментировать

2022-02-16 15:15:02 А вот тут — в статье А.Баабабова ""Пентиум" хорошо, а ум — лучше" в "Кванте" за 1994 год: Открыть/Комментировать

2022-02-16 15:08:20 Появляется, кстати, как раз в связи с этой игрой — вот фото несколькими страницами раньше: Открыть/Комментировать

2022-02-16 15:05:54 Это утверждение известно как теорема Рэлея или теорема Битти, а последовательности вида [na] — как последовательности Битти.

Вот тут (на скриншоте) она появляется в книге Н. Н. Воробьёва "Числа Фибоначчи". Открыть/Комментировать

2022-02-16 13:16:08 И это — частный случай более общего, совершенно замечательного, утверждения:
Если α и β — два иррациональных числа, таких, что 1/α + 1/β=1, то натуральный ряд разбивается на две непересекающиеся последовательности, [nα] и [nβ].

То, что это частный случай, проверить несложно — ведь
1/φ + 1/φ^2 =1. Осталось обсудить само это утверждение. Открыть/Комментировать

2022-02-16 13:09:34 С одной стороны — действительно, φ^2=φ+1, так что таких позиций получается по одной на каждой диагонали: [n φ^2]=[n φ] + n.

С другой — возникает вопрос: а почему при этом в каждом столбце будет по одной проигрышной позиции — то есть почему каждое натуральное число представляется либо как [n φ], либо как [n φ^2], причём только одним способом? (Скриншот — опять же, кусочек из статьи И. В. Арнольда) Открыть/Комментировать

2022-02-16 11:34:33 А вот — удивительный! — ответ: координаты проигрышных позиций имеют вид ([n φ], [n φ^2]), где [.] — целая часть, а φ=(√5 +1)/2 — золотое сечение (в статье оно обозначено через τ) Открыть/Комментировать

2022-02-16 11:32:05 Вот тут он формулирует задачу и переходит к проигрышным позициям ("основным парам"). Открыть/Комментировать

2022-02-16 11:31:06 Давайте я закончу этот рассказ — тут совсем немного осталось.
Во-первых, для подстановочного слова есть способ его "считывать" через поворот окружности и то, на какую из двух дуг попадает очередная итерация начальной точки: см. тут+ниже.

Во-вторых, отсюда уже можно увидеть, что "линия" проигрышных позиций в игре "ферзя в угол" идёт под углом наклона, равным золотому сечению. Потому что именно с таким отношением идут буквы A и B в слове Фибоначчи, а применение преобразования "каждое А соответствует сдвигу на (2,3), каждое B — сдвигу на (1,2)" приводит к такому же отношению y:x.

В-третьих, и это отдельно интересно — оказывается, что для проигрышных позиций есть явная формула. И я тут хочу процитировать статью И. В. Арнольда (не Владимира Игоревича — а его отца!), "Об одном свойстве числа τ=(√5 +1)/2", вышедшей в 1936 году в 8 выпуске "Математического просвещения" — ещё первой серии этих сборников! Открыть/Комментировать