Геометрия-канал

2022-04-11 12:30:56 Точки P и Q таковы, что QB=BC=CP. Доказать, что центр T описанной окружности треугольника APQ, ортоцентр H исходного треугольника и пересечение CP с BQ лежат на одной прямой.

(геометрия с только что закончившейся EGMO-2022) Открыть/Комментировать

2022-04-10 17:45:14 Зафиксирована окружность и проходящая через ее центр прямая AB. Для каждого диаметра XY той же окружности отметим пересечение AX и BY — что получится?

(задача Акопяна и Заславского с сегодняшней устной олимпиады по геометрии) Открыть/Комментировать

2022-04-04 11:41:07 Дан неравнобедренный треугольник ABC. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности треугольника ABC внутренним образом в точке B и не пересекающую прямую AC. Отметим на ω точки P и Q так, чтобы прямые AP и CQ касались ω, а отрезки AP и CQ пересекались внутри треугольника ABC. Докажите, что все полученные таким образом прямые PQ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

(задача А.Марданова со вчерашнего устного тура Турнира городов; тоже via Д.Швецов) Открыть/Комментировать

2022-04-01 00:10:31 Дима Швецов обратил внимание на задачу M2668 из журнала «Квант»:

Даны две окружности, для которых есть семейство четырехугольников, описанных вокруг первой окружности и вписанных во вторую. Обозначим a, b, c, d последовательные длины сторон одного из таких четырехугольников. Докажите, что величина a/c+c/a+b/d+d/b не зависит от выбора четырехугольника.

Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/ybnhh27c Открыть/Комментировать

2022-03-31 09:35:21



лекция Ю.А.Блинкова о геометрических задачах В.В.Произволова (июль 2021, финал геометрической олимпиады им. Шарыгина) Открыть/Комментировать

2022-03-27 17:53:44 Бумажный квадрат перегнули по прямой как на рисунке. Найдите угол MAN.

(Задача с устной олимпиады для 7 класса сегодня. Автор — А.Д.Блинков.) Открыть/Комментировать

2022-03-20 15:35:00 Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

(Задача с Московской математической олимпиады сегодня. Автор — А.Кушнир.

На странице https://mmo.mccme.ru/2022/ есть остальные задачи.) Открыть/Комментировать

2022-03-13 19:19:59 (Обещанное решение задачи выше.)

Проведем через точку N прямую, параллельную стороне треугольника. Фактически нам нужно доказать, что AN — медиана зеленого треугольника.

И это легко получается из прямой Симсона: из условия ясно, что проекции точки O на стороны зеленого треугольника лежат на одной прямой — значит, O лежит на его описанной окружности.

А это уже победа: так как AO биссектриса, O — середина дуги B’C’, а ее проекция N на хорду B’C’ — середина этой хорды.

См. также статью http://mi.mathnet.ru/kvant1089 Д.Прокопенко и Д.Швецова в Кванте №2 за 2020 год. Открыть/Комментировать

2022-03-13 10:55:02 Напоминание про прямую Симсона: проекции точки описанной окружности на стороны треугольника лежат на одной прямой; и наоборот, если проекции точки на стороны треугольника лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности.

Обсуждение (в т.ч. разные доказательства): https://vk.com/@olympgeom-pro-pryamuu-simsona Открыть/Комментировать

2022-03-12 22:07:03 Дан треугольник и вписанная в него окружность (с отмеченным центром и точками касания сторон). Как построить одной линейкой медиану треугольника?

Коллега Кноп рассказал в чате рецепт — вот он на картинке (соединяем две точки касания и пересекаем с нормалью в третьей точке касания — получается точка на медиане).

Доказать это — на удивление непросто. Завтра будет решение (а может и не одно).

Контекст: https://t.me/geometrykanal/1929 и https://t.me/c/1141607031/25034 Открыть/Комментировать