(Обещанное решение задачи выше.)
Проведем через точку N прямую, параллельную стороне треугольника. Фактически нам нужно доказать, что AN — медиана зеленого треугольника.
И это легко получается из прямой Симсона: из условия ясно, что проекции точки O на стороны зеленого треугольника лежат на одной прямой — значит, O лежит на его описанной окружности.
А это уже победа: так как AO биссектриса, O — середина дуги B’C’, а ее проекция N на хорду B’C’ — середина этой хорды.
См. также статью http://mi.mathnet.ru/kvant1089 Д.Прокопенко и Д.Швецова в Кванте №2 за 2020 год.
