Олимпиадная геометрия

2022-01-21 14:23:32 Очередная довольно прикольная задача с январского американского отбора на отбор на межнар.

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC отмечены точки A1, B1 и C1 такие, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны. На прямых B1C1, C1A1 и A1B1 отмечены такие точки A2, B2 и C2, что AA2=A1A2, BB2=B1B2, CC2=C1C2. Докажите, что треугольник A2B2C2 подобен треугольнику ABC. Открыть/Комментировать

2022-01-18 12:34:40 Пока никто не решил прекрасную задачу с Discord Geom Olympiad, которую я предлагал. А это, кстати, хороший повод перебрать факты про ситуации, когда один отрезок равен сумме двух других. Кто-то вот теорему Помпею вспомнил. А кто-то вспомнит относительно недавнюю статью Филипповского в Кванте "Когда один отрезок равен сумме двух других ". Но в задаче, которая предлагалась, может помочь другой удивительный факт: в треугольнике один из трех отрезков, соединяющих точку Фейербаха (точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек) с серединами сторон, равен сумме двух других. Открыть/Комментировать

2022-01-16 19:21:00 Всем привет! Сегодня предлагаю красивую задачу без картинки.

Эта задача попала в один древний шортлист на международную олимпиаду, а на следующий год оказалась на польской национальной олимпиаде.

Про выпуклый шестиугольник ABCDEF известно, что сумма его углов через один равна полному: ∠A+∠C+∠E=360°. И произведения сторон через одну равны: AB·CD·EF=BC·DE·FA. Докажите, что BC·AE·FD=EF·DB·CA. Открыть/Комментировать

2022-01-13 10:42:26 Всем привет! Еще одна очень крутая и красивая задача из того же источника, что и вчера. И в основном того же автора.

На этот раз на сторонах построены подобные зеленые треугольники и пристроены два равнобедренных так, что сумма углов альфа, бета и гамма равна развернутому. Требуется доказать, что три точки лежат на одной прямой. Открыть/Комментировать

2022-01-12 13:13:39 Кажется, немного напоминает классическое утверждение, но вроде бы совсем не оно... Открыть/Комментировать

2022-01-12 12:54:59 В группе Romantics of Geometry (https://www.facebook.com/groups/parmenides52/) встретился с одним очень симпатичным утверждением, которого раньше не знал. Автор Floor van Lamoen.

Все необходимое есть на картинке. Требуется доказать две перпендикулярности. Открыть/Комментировать

2022-01-11 12:03:37 Всем привет! А никто не в курсе, что за олимпиада Discord Geometry Olympiad? Кто ее проводил? Кто в ней участвовал? Вот, например, симпатичная задача с нее.

O — центр описанной окружности треугольника ABC. Точка P лежит на дуге BOC описанной окружности треугольника BOC. Лучи AP и AO повторно пересекают эту окружность в точках X и Y соответственно. Оказалось, что OX и PY пересекаются на BC. Докажите, что PB+PC=PY. Открыть/Комментировать

2022-01-10 20:32:03 5. Точки A₁, A₂, . . . , A₂₀₂₁ расположены на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и
∠A₁A₂A₃ + ∠A₂A₃A₄ + · · · + ∠A₂₀₂₁A₁A₂ = 360°, где под ∠Aₙ₋₁AₙAₙ₊₁ подразумевается угол, меньший 180° (здесь A₂₀₂₂ = A₁ и A₀ = A₂₀₂₁).
Докажите, что сумма некоторых из этих углов равна 90°. Открыть/Комментировать

2022-01-10 20:31:51 4. На стороне CD равнобокой трапеции ABCD (AB || CD) выбраны точки E и F так, что DE = CF (точки расположены на прямой CD в порядке D, E, F, C). Точки X и Y симметричны E и C относительно прямых AD и AF соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ADF и BXY , имеют общий центр. Открыть/Комментировать

2022-01-10 20:31:24 3. Назовём сердцем фигуру, состоящую из трёх полуокружностей с диаметрами AB, BC и AC, где точка B является серединой отрезка AC (см. рисунок). Дано сердце ω. Назовём пару точек (P,P′) удачной, если P и P′ лежат на ω и делят его периметр пополам. Пусть пары (P,P′) и (Q,Q′) являются удачными. Касательные в точках P, P′, Q и Q′ к ω в пересечении образуют выпуклый четырёхугольник XYZT. Оказалось, что он является вписанным. Найдите угол между прямыми PP′ и QQ′. Открыть/Комментировать