Олимпиадная геометрия

2022-01-10 20:31:01 2. На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD выбраны точки K, L, M, N соответственно так, что площадь четырёхугольника KLMN в два раза меньше площади квадрата ABCD. Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника KLMN параллельна одной из сторон квадрата ABCD. Открыть/Комментировать

2022-01-10 20:30:48 Всем привет! Наконец выкладываем условия уровня Elementary 8-ой Иранской геометрической олимпиады. Кстати, на сайте https://math.mosolymp.ru/olympiads_igo_2021 появились результаты по России. Поздравляем победителей, призеров и просто любителей геометрии. Тут, кстати, поступило предложение устроить стрим с разбором задач этой олимпиады — если вам это было бы интересно, то ставьте лайк к этой записи.

1. Сложите четыре фигуры, изображённые на рисунке ниже, вместе так, чтобы получилась фигура, имеющая хотя бы две оси симметрии. Открыть/Комментировать

2022-01-09 19:13:20 5. Вписанная окружность треугольника ABC с центром в точке I касается стороны BC в точке D. На стороне BC отмечены такие точки P и Q, что ∠PAB=∠BCA и ∠QAC=∠ABC. Точки K и L — центры вписанных окружностей треугольников ABP и ACQ соответственно. Докажите, что AD — прямая Эйлера треугольника IKL. Открыть/Комментировать

2022-01-09 19:12:51 4. На плоскости расположены 2021 точка в вершинах выпуклого многоугольника, при этом никакие четыре из них не принадлежат одной окружности. Докажите, что можно выбрать две из этих точек таким образом, чтобы любая окружность, проходящая через эти две точки содержала внутри не менее 673 точек из оставшихся. Открыть/Комментировать

2022-01-09 19:12:39 3. Высоты AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке H. Перпендикуляр из H на EF пересекает прямые EF, AB и AC в точках P, T и L соответственно. Окружность ω проходит через точки P и H и касается прямой AH. Точка K на стороне BC такова, что BD=KC. Докажите, что описанная окружность треугольника ATL касается ω и точка касания лежит на прямой KH. Открыть/Комментировать

2022-01-09 19:12:10 2. Окружность Г₁ и Г₂ пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A пересекает первую окружность в точке C, а вторую — в точке D. Касательная, проведенная в точке A к Г₂ пересекает Г₁ в точке E. Точка F на Г₂ такова, что точки F и A лежат в разных полуплоскостях относительно BD и 2∠AFC=∠ABC. Докажите, что касательная в точке F к Г₂ и прямые BD и CE пересекаются в одной точке. Открыть/Комментировать

2022-01-09 19:11:30 Всем привет! А вот и задачи уровня Advanced c 8-ой Иранской геометрической олимпиады. По-моему, очень даже симпатичные!

1. Точка D — середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, E — основание высоты из вершины A. Прямая DE пересекает прямую AB в точке F. Точка H лежит на меньшей дуге AC окружности ω, описанной окружности треугольника ABC, и такова что ∠BHE=∠ABC. Докажите, что ∠BHF=90°. Открыть/Комментировать

2022-01-06 22:53:17 На канале добавлены реакции! Открыть/Комментировать

2022-01-06 17:12:18 5. (Josef Tkadlec - Czech Republic) На стороне CD выпуклого пятиугольника ABCDE выбрана переменная точка X. На отрезке AX лежат точки K и L такие, что AB=BK, AE=EL. Описанные окружности треугольников CXK и DXL повторно пересекаются в точке Y. Докажите, что прямые XY проходят через фиксированную точку или параллельны. Открыть/Комментировать

2022-01-06 17:11:28 Учитывая навыки автора четвертой задачи, рискну предположить, что она придумана компьютером, что, конечно, не делает ее менее красивой.

4. (Patrik Bak - Slovakia) Точка I — центр вписанной окружности неравнобедренного остроугольного треугольника ABC, Г — его описанная окружность. Прямая AI пересекает Г в точке M, N — середина BC. Точка T на Г такова, что IN и MT перпендикулярны. Наконец, точки P и Q — точки пересечения прямых BT и CT соответственно с перпендикуляром к прямой AI, проведенным через точку I. Докажите, что BP=CQ. Открыть/Комментировать