2022-07-25 00:57:06
С чего начинается математическая логика?
Аксиома есть очевидная истина, не требующая доказательства.
Теорема или предложение есть истина, требующая доказательства.
Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих данное предложение очевидным. Доказательство достигает своей цели, когда при помощи его обнаруживается, что данное предложение есть необходимое следствие аксиом или какого-нибудь другого предложения, уже доказанного. Всякое доказательство основано на том начале, что при правильном умозаключении из истинного предложения нельзя вывести ложного заключения.
Обратная теорема. Предложение, у которого заключение данной теоремы делается условием, а условие заключением, называется теоремой обратной данной.
Противоположная теорема есть такая, в которой из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Чтобы обобщить все эти теоремы, мы их представим схематически в следующей общей форме:
Прямая или основная теорема. Если имеет место условие или свойство A, то имеет место заключение или свойство B.
Обратная. Если имеет место B, то имеет место A.
Противоположная. Если не имеет места A, то не имеет места B.
Обратная противоположной. Если не имеет места B, то не имеет места A.
Следующие примеры поясняют на частных случаях взаимное отношение этих теорем:
Прямая теорема. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная теорема. Если две прямые параллельны, то при пересечении их третье, соответственные углы равны.
Противоположная. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной. Если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.
При геометрическом изложении теорем достаточно доказать только две из этих трех теорем, тогда остальные две теоремы справедливы без доказательства. На этой связи теорем основан прием, по которому для доказательства обратной теоремы ограничиваются часто только доказательством теоремы противоположной.
2.0K views21:57
Р
