А за доказательство спасибо Г. Мерзону — можно воспользоваться тем, что
1/sin(2x) = ctg(x) - ctg(2x),
после чего в правой части получается телескопическая сумма.
Ну и можно либо её свернуть в ctg(x)-ctg(2^{n-1} x) и доразобрать получившееся тождество уже без большой суммы — либо заметить, что перенеся 1/sin(x) с минусом тоже в правую часть, мы получим
-1/sin(x) = 1/sin(π+x) = 1/sin(2^n x),
так что в итоге получаем
ctg(x)-ctg(2^n x) = ctg(x)-ctg(x+π) =0.
