2022-01-22 10:40:48
О главном результате САП 2021-го года. В 70-х годах А.К. Боусфильд показал, что вторые гомологии пронильпотетного пополнения свободной нециклической группы H_2(F^) несчетны. Его доказательство использовало симплициальные методы и спектральную последовательность Квиллена. Долгое время в направлении исследований гомологий пронильпотетных пополнений не появлялось никаких новых результатов. В 2017-м году С. Иванов и Р. Михайлов решили известную проблему Боусфильда, построив конечное Q-плохое пространство, и с помощью тех же самых методов показали, что H_2(F^) не является делимой группой. Ничего больше о группе H_2(F^) не было известно, а любое новое утверждение о ней, представляет, несомненный интерес.
Разница между гомологиями обратных пределов и обратными пределами гомологий описывается для многих случаев и категорий. Эта разница оказывается lim^1 -- производным пределом от последовательности групп. Возникает естественный вопрос: а можно ли получить подобный результат для гомологий групп? В частности, представляется ли H_2(F^) как lim^1 от некоторой последовательности групп? В недавней работе Барнеа и Шелаха подобное доказывается для первых гомологий групп. Если есть обратная последовательность эпиморфизмов, то разница между первыми гомологиями обратного предела и обратным пределом первых гомологий, оказывается некоторым lim^1. Напомним, что абелева группа представима как некоторый lim^1 тогда и только тогда, когда она является кокручением. Есть несколько эквивалентных определений кокручения и вышеупомянутое свойство также можно рассматривать как одно из определений.
Является ли группа H_2(F^) кокручением? Это задача, над которой работали сотрудники лаборатории в течении долгого времени. Методы, развитые в ранних работах С. Иванова и Р. Михайлова, оказались недостаточными для вывода или опровержения подобного результата. Кокручение является тонким и сложно-уловимым свойством. Оказалось, что для решения этой задачи необходимо привлечение принципиально новых методов, больше относящихся к анализу, нежели к алгебре и топологии, что удивительно и представляет собой редкий случай подобного взаимодействия областей.
В итоге, М. Б., С. И. и Р. М. показали, что H_2(F^) не является кокручением. Доказательство приведено в работе
https://arxiv.org/abs/2107.01485
и представляет собой на данный момент самое сложное рассуждение из всего, что есть в этой области. Это главный результат, полученный в САП в 2021-м году.
609 views07:40
M
