2022-06-29 12:15:39
Ну что, раберем вчерашнюю задачу. Наша цель доказать утверждение для любого простого числа а, то есть априори известно, что числа 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... обладают таким свойством, что их квадрат минус единица делятся на 24, а нам лишь надо найти строгое доказательство.
Была озвучена правильная мысль, надо разложить выражение с помощью разницы квадратов, получим (а-1)(а+1). Далее, доказывать, что произведение делится на 24 будем так: сначала докажем делимость на 3, а потом на 8.
Простое число а не делится на 3, но делится на 3 либо а-1 либо а+1, так как из трех подряд идущих чисел одно делится на 3.
Числа а-1 и а+1 четные, так как число а нечетное. То есть мы уже знаем, что (а-1)(а+1) делится на двойку два раза и делится на 3. Надо показать, что либо (а-1) либо (а+1) делится на 4.
Если а-1 делится на 4, то все хорошо, мы доказали. Поэтому рассмотрим случай, когда а-1 не делится на 4, то есть это четное число лишь с одной двойкой среди своих множителей, а значит мы можем представить а-1 как 2в, где число в - нечетное.
а-1 = 2в, тогда а+1=2в+2. Вынесем 2: а+1=2(в+1). Отсюда следует что а+1 можно представить как произведение 2 и в+1, при этом в+1 будет четным числом (просто в ведь нечетное), а значит а+1 делится на 2 два раза, откуда следует, что (а-1)(а+1) делится на 8. Вспомнив, что мы уже доказали делимость на 3, можно смело написать, что исходное утверждение про делимость на 24 доказано.
Вот такая интересная задачка на уровне 18б, мотаем себе на ус десятиклассники, нужно будет научиться подобному способу размышлений и доказательств. Мы справимся, это не так сложно)
1.1K views09:15
П
