«…В городе работает необычный отель. В нём бесконечное количес | CatScience

«…В городе работает необычный отель. В нём бесконечное количество номеров.
На конгресс политологов и инфекционистов прибыло бесконечное число школьников. Всех их заселили в отель, всем хватило, каждый номер оказался занят одним школьником.

Но тут прибыл ещё один участник конгресса, военный эксперт с первого канала. Куда его поселить? Все номера заняты, в какой ни постучи, даже с миллиардным номером.

Администратор отеля нашёл выход.

Он постучался в первый номер и попросил школьника переселиться в соседний (с номером 2). Во втором номере — в соседний с номером 3. Третьего — в четвёртый. И так далее, бесконечное число раз. Хвост сдвинулся вправо. Военный эксперт заселился в освободившийся первый номер, а все остальная школота также не осталась без жилья.

Когда на конгресс прибыл ещё миллион школьников, все номера были заняты. Но вы уже знаете ответ — администратор переселил постояльца из первого номера в миллион-первый, второго — в миллион-второй и т.д. Сдвинули хвост вправо на нужное число — освободили нужное количество номеров. Да что я вам рассказываю, читатели-москвичи в курсе, как это работает.

Но тут на проходящий в том же городе конгресс блогеров прибыл рейс из Дубая с бесконечным числом инстакоучей. Куда их селить? На какое бы конечное число мы не сдвинули хвост, поселить можно только часть блогеров.

Администратор на время ушёл в себя, сделал запрос ко Вселенной и скоро нашёл ответ.

Школьника из первого номера он попросил переселиться во второй номер. Из второго — в четвёртый. Из третьего — в шестой. Из n-ного — в номер 2n. В результате все переехали, никто не остался без номера, но при этом в отеле освободились все нечётные номера. Туда и заселилась бесконечная толпа инстакоучей…»

Обдумывая такие сюжеты с бесконечными отелями, Георг Кантор ввёл понятие мощности множества. Если множество конечное — его мощность равна количеству элементов. А вот если оно бесконечно, нужно посмотреть, эквивалентно ли это множество натуральному ряду. То есть, можно ли построить биекцию с натуральными числами (пересчитать). И если да, то назовём такое множество счётным.

Как обозначить новое понятие мощности? Все латинские и греческие буквы были к тому времени заняты, поэтому мощность множества Кантор обозначил первой буквой еврейского алфавита: ℵ («алеф»). Вопрос — почему еврейского? Ну что ему стоило выбрать русскую букву? Например, Щ? И была бы в математике не «иерархия алефов», а иерархия Щей.

У счётного множества мощность обозначается как ℵ0 («алеф-ноль»). Если к счётному множеству прибавить конечное множество — мощность не изменилась. Отнять бесконечную половину (см. пример с нечётными номерами в отеле) — тоже не поменялась.
Повлиять на мощность может слияние с чем-то более серьёзным. Каким-то более мощным бесконечным множеством. Только есть ли оно?

Что если взять рациональные числа (дроби)? Их тоже бесконечно много, причём в ещё более пугающем ключе для простого человека.

С натуральными числами было ещё терпимо. Хвост уходит бесконечно вправо, зато между соседними камнями пусто.

А теперь бесконечность уходит не только вправо, но и вглубь, на каждом взятом сантиметре.
Какие два соседних рациональных числа не возьми, между ними будут ещё. Это в физическом мире вы не можете делить отрезок бесконечно — упрётесь в планковскую длину.
В математике можете делить сколько угодно. И в результате на маленьком отрезке от 0 до 1 у вас бесконечное число точек.

И вот вопрос: чья мощность будет больше — натуральные числа (бесконечный ряд, но дискретный) или рациональные числа (тоже бескрайняя прямая, но при этом ещё и точки понатыканы бесконечно плотно)?

Ответ неочевиден, но мощность у них будет одинакова. Все рациональные числа можно пересчитать. Достаточно предъявить алгоритм такого пересчёта и доказать, что получится биекция.