Бесконечно малое число Недавний пост про вероятности снова вы | Канал Ильи Бирмана

Бесконечно малое число

Недавний пост про вероятности снова вызвал псевдоматематические рассуждения о бесконечно малом. Почему-то регулярно люди пишут, мол тут получается бесконечно малое число, которое больше нуля, но меньше любого другого положительного числа.

Людям кажется, что если сгенерировать такую формулировку, то такое число волшебным образом появится. Но такого числа нет! Вот вам пример: x — отрицательное целое, которое больше трёх, но меньше двух. Я, конечно, написал «определение», но такого числа не существует.

Бесконечно малого числа, которое было бы больше нуля, но меньше любого другого положительного числа, тоже не существует. Просто предположим, что такое число w есть, разделим его пополам, получим положительное v. Теперь 0<v<w, но мы изначально постановили, что w меньше любого положительного числа, а оно оказалось больше v! Значит исходное предположение о существовании такого числа ошибочно.

Ещё люди иногда говорят, мол, число стремится к нулю. Но ни одно число на свете никуда не стремится. Оно просто стоит себе спокойно на своей точке на числовой прямой и будет там дальше стоять всегда, не сдвигаясь никуда ни насколько.

С бесконечностями и бесконечно малыми нужно аккуратно работать — целый матанализ для этого придумали. Нельзя просто сказать, что что-то есть, и делать вид, что это так, игнорируя все противоречия. Ну то есть можно, конечно, но это не математика.