Правильно говорить и писать «поставить укол шприцом».В творительном падеже слово выглядит так: «шпри́цем», а во множественном числе в родительном падеже — «шпри́цев».
Вариант «шприцов» с ударением на последний слог тоже есть, но используется только в профессиональной речи медиков.
В профессиональных кругах вообще живут по своим правилам: сочетание «поставить укол» — тоже из жаргона медиков, а общеупотребительным считается вариант «сделать укол».
Грамотная речь | Лингвистика
